定积分笔记

1. 定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，
积分点 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_n = b$ 将 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个区间。
在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i (i=1, \cdots, n)$，
作积分和：

$$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

当 $n \to +\infty$ 时，和式无限接近于某个常数，
这个常数就叫作 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分。

Tips:

• $a$：积分下限
• $b$：积分上限
• $[a,b]$：积分区间
• $f(x)$：被积函数
• $x$：积分变量
• $f(x)dx$：被积表达式

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2. 定义法求积分步骤

1. 分步：将区间 $[a,b]$ $n$ 等分

2. 近似代替：取点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$

3. 求和：

   $$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \frac{b-a}{n}$$

4. 取极限：

   $$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \frac{b-a}{n}$$

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3. 性质

1. $$\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$$

2. $$\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$$

3. $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \quad (a < c < b)$$

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4. 微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）

若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $F'(x) = f(x)$，则

$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b = F(b) - F(a)$$

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5. 定积分在几何方面的应用

1) 连续函数

一般地，若函数 $y = f(x)$ 在某个区间上的图象为一条连续不断的曲线，则 $f(x)$ 为该区间上的连续函数。

2) 曲边梯形

由 $x = a$, $x = b$ ($a \ne b$), $y = 0$ 和曲线 $y = f(x)$ 所围成的图形。

3) 定积分的几何意义

若在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x) \geq 0$，则

$$\int_a^b f(x) dx = S \quad \text{（曲边梯形面积）}$$

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6. 分段函数的定积分

确定各段 $f(x)$ 的表达式 → 分别进行积分 → 写成和的形式

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^d f(x) dx + \cdots + \int_m^b f(x) dx$$

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7. 常用积分公式

$$\int_a^b c dx = c(b - a)$$

$$\int_a^b x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} \bigg|_a^b$$

$$\int_a^b \cos x dx = \sin x \bigg|_a^b$$

$$\int_a^b \sin x dx = -\cos x \bigg|_a^b$$

$$\int_a^b \frac{1}{x} dx = \ln|x| \bigg|_a^b$$

$$\int_a^b e^x dx = e^x \bigg|_a^b$$

$$\int_a^b a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} \bigg|_a^b$$

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8. 对称区间上的定积分

若 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，则：

• 若 $f(x)$ 为奇函数：

  $$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$$

• 若 $f(x)$ 为偶函数：

  $$\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$$

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9. 两个重要极限

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

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10. 夹逼定理

若函数 $f(x), g(x), h(x)$ 在 $x_0$ 附近满足：

$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$

且

$$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = a$$

则

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$$

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11. 用定积分求平面图形的步骤

1. 画图形，确定范围
2. 求交点，确定积分上下限（注意上下限顺序）
3. 列积分式
4. 计算

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12. 用微积分基本定理计算定积分

1. 通过被积函数确定原函数
2. 运用牛顿-莱布尼茨公式计算

示例：

$$\int_0^1 (-x^2 + 2x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^1 = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{2}{3}$$